Evaluacion de funciones compuestas

Gráfica de una función cuadrática

Interpretación gráfica de la función lineal

Concepto de función

Función Compuesta

Sean F y G dos funciones de X  tales que F: A->B y G: B'->C


Ejemplo: 
Sean las funciones:
 f(x) = x^2 \,
 g(x) = \sin(x) \,
La función compuesta de g y de f que expresamos:
 (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (\sin(x))^2 = \sin^2 (x) \,
La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso
 z = g(x)=\sin(x) \,
y después aplicamos f a z para obtener
 y = f(z) = z^2 = \sin^2(x) \,

Funciones Inversas

Defunción:
La función inversa de F denota F^-1 tiene dominio B y rango A es tal que: F^-1(y) <=>F(x)=Y
Siempre Y es biyectiva

Ejemplo:
  • Sean 
         F(2)=8
         F(-5)=12
         F(-9)=-4
Encuentre la función inversa de cada uno.
         F^-1(8)=2
         F^-1(12)=-5
         F^-1(-4)=-9

  • Sea F: R->R definida por la regla Y=3X-2 encuentre F^-1

         Y=3x-2=>(Y+2)/3=X
         
         F(x) =(Y+2)/3
         F(Y) =(X+2)/3

Transformación de Funciones

Gráficas Bases








Criterios de la recta vertical

Una curva en el plano cartesiano es la gráfica de una función de X si y solo si ninguna recta vertical corta la curva mas de una vez.
Ejemplo:

grafica2 (2447 bytes)

Funciones Lineales

El modelo que representa la linea recta e Y=mx+b, donde
m=pendiente
b=Intersepto con el eje Y (punto de corte)

Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7        b(x) = -4x+3     f(x) =  2x + 5 + 7x - 3

Funciones

Una Función es una correspondencia entre 2 funciones "x" y "y" en 2 conjuntos "A" y "B" en el que se cumple lo siguiente:

"Para toda X  A se puede encontrar un y solo un valor de Y  B"
Función de A en B

Representación de Una Función

1) Diagrama Sagital (Flechas)
 1Rb  2Rc  3Rd  4Rb


2) Ecuación Algebraica

Ej: A={1,2,3,4}      B={a,b,c,d}

B(y)    A(x)
1     ->     b
2    ->      c
3    ->      d
4    ->      b

3) Plano Cartesiano
Toda Función puede representarse en el plano tomando siempre puntos coordinados





Valor Absoluto

El valor Absoluto es un número real "a"se denota |a|.

Del anterior diagrama se concluye que |a| \ge 0.
Por ejemplo: |8|=8; |-15,4|=15,4; |0|=0

Definición del Valor Absoluto
|a| = \begin{cases}
  \;\;\;a, & \mbox{si } a \ge 0\\
       -a, & \mbox{si } a < 0
 \end{cases}
Sea 
a = -10
|-10|= -(-10)
|-10|= 10

El valor absoluto de un número negativo es el inverso aditivo de este.

Propiedades del Valor Absoluto

Propiedades fundamentales

|a| \ge 0No negatividad
|a| = 0 \iff a = 0Definición positiva
 |ab| = |a| |b|\, Propiedad multiplicativa
|a+b| \le |a| + |b|Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

|-a| = |a|\,Simetría
|a-b| = 0 \iff a = bIdentidad de indiscernibles
|a-b| \le |a-c| + |c-b|Desigualdad triangular
|a-b| \ge ||a| - |b||(equivalente a la propiedad aditiva)
\left| \frac {a}{b}\right| =  \frac {|a|}{|b|} (si \ b \ne 0)Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Ejercicios
1) Representa las función valor absoluto: f(x) = |x - 2| Desarrollo  
2)Representa las función valor absoluto e indica su dominio.
Desarrollo
D=
3)Representa las función valor absoluto e indica su dominio:
Desarrollo
D=